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  1. 2009/08/12 괴델의 불완전성 원리와 자기 참조 - 혹은 역설과 삶
  2. 2009/06/23 직관의 배신: 몬티 홀 문제 (12)

괴델의 불완전성 원리와 자기 참조 - 혹은 역설과 삶

Copyright Shane Willis - www.radactphoto.com 저작권자의 허락 하에 게재(개제)

괴델의 불완전성incompleteness 원리란 것이 있습니다. 한글로는 하이젠베르크의 불확정성uncertainty 원리랑 어감이 비슷해서 자주 헷갈리곤 하는 놈이죠. 따지자면 전자는 수학, 후자는 물리 관련 정리가 되겠습니다. 둘 다 20세기 초에 발견된 것이라 실제 여러 문맥에서 동시에 논의되기도 합니다. 일단 이 글은 괴델의 원리에 관해서입니다.

일관성consistency과 완전성completeness
그를 이해하려면 먼저 일관성과 완전성이 무엇인지 알아야 합니다. 일관성은 어떤 수학적 시스템에서 p가 참이면 p의 부정은 거짓이 되는 것을 말합니다. 프로그래머니 C 언어로 표현해보면 임의의 명제 p에 대해 (p && !p)가 항상 false임을 만족하면 그 시스템이 일관성을 가진다 말할 수 있습니다. 상당히 자명해보입니다;
다음은 완전성입니다. 한 시스템에서 참인 모든 명제들이 증명가능할 때 그 시스템은 완전성을 가진다 합니다. 즉, 참이지만 증명은 할 수 없는, 말하자면, 이게 맞는데 이유는 나도 모르겠네 하는 경우가 없는 시스템이죠. 

거짓말쟁이 역설liar's paradox
지금 이 문장은 거짓이다.
위와 같은 역설 명제를 접해보신 분도 있을 겁니다. 명제에서 '지금 이 문장'이 바로 명제 자신을 가리키므로 자기참조self-reference가 나타나고 있죠. 아시겠지만 이 명제는 참도 거짓도 될 수가 없는 모순 명제입니다. 참이라면 자기가 거짓이라고 한 명제가 참인게 되므로 모순이고, 거짓이라도 해도 역시 해당 문장은 거짓이 맞으므로 명제가 다시 참이 되어버려 모순이죠.
갑자기 뜬금없는 역설 이야기나고요? 괴델의 불완전성 원리의 근간에 이러한 모순 명제가 존재하는 까닭입니다.

괴델
다음과 같은 명제 G를 만들어냄으로써 괴델은 불완전성 원리를 증명합니다.
명제 G:
T 시스템 내에서 명제 G가 참임을 증명할 수 없다.
역시 자기참조가 보이죠? 이 명제 G가 참이라면 T 시스템은 참이지만 증명할 수 없는 명제를 가져 불완전하게 됩니다. 그러면 거짓이라고 하면 될까요? G가 거짓이면 'T 시스템 내에서 명제 G가 참임을 증명할 수 있다'가 되고 다시 모순입니다! 즉, 명제 G도 참이고 그의 부정도 참이 되어 일관성을 상실합니다.
요약하면, 괴델의 불완전성 원리는 정수론과 같은 충분히 강력한 시스템에서는 그 시스템의 강력함으로 말미암아 자기참조가 가능해져서 일관성과 완전성을 동시에 만족시킬 수 없다가 됩니다. 흥미롭죠?
이 원리는 당시 기본적인 공리들을 바탕으로 엄정한 연역 추리를 거쳐 여러 모순들을 말끔히 해결한 완전한 수학 이론을 만들려 했던 당시 유명 수학자들의 노력에 찬물을 끼얹는 것이었습니다.

삶
저는 이것이 하드웨어도 울고갈 딱딱한 수학이, 그에서 연상되리라고는 누구도 기대치 않는 철학적 직관을 보여주는 일례라 생각합니다. 사람도 정수론 이상으로 강력한 시스템(?)일진데... 그렇다면 불완전성의 원리를 사람에도 적용해볼 수 있지 않을까 하게 됩니다. 삶에서도 일관성과 완전성을 다 노릴 수는 없는 것이구나 하고 말이죠... 지나친 비약일가요?
수학에서는 일관성이 담보되지 않으면 완전히 쓸모없는 이론이 되어버립니다만... 저는 죽은 일관성보다는 어제의 말을 오늘 번복하게 될지라도 살아있는 완전성을 택하고 싶습니다. 선각자의 말처럼 나날이 새로워질줄 모르는 바보만이 일관될 수 있을테니까요.

[참고 자료]
  1. GEB 책 : 이상의 모든 정보를 얻는 시발점이 된 책입니다. 두껍지만 그 값을 합니다.
  2. GEB에 관한 필자의 블로그글
  3. GEB에 관한 MIT 열린강의 : 제한된 시간의 강의로는 책의 맛을 다 살릴 수 없지만, 그래도 영어에 자신 있는 분은 볼만합니다. 이게 고등학생을 위한 강의라니... 역시 MIT입니다.

* 이 포스트는 blogkorea [블코채널 : 정말로 아무 이야기나 올리는 채널] 에 링크 되어있습니다.  


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직관의 배신: 몬티 홀 문제

몬티 홀 문제(Monty Hall Problem)을 아시나요?

 여러분이 퀴즈 쇼에 출연했다고 합시다. 거기서 세 문 중 하나를 선택할 수 있습니다. 한 문 뒤에는 자동차 경품이 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있습니다. 여러분은 한 문을 고릅니다. 그게 1번 문이라고 해보죠. 그 후 그 쇼의 MC(이 사람은 어떤 문 뒤에 차가 있는지 알고 있습니다.)가 염소가 있는 한 문(3번 문이라 하죠)을 열어 보여줍니다. 그리고 "2번 문으로 바꾸시겠습니까?"하고 묻습니다. 이때 바꾸는 게 유리할까요, 아니면 원래 선택을 고수하는 게 좋을까요?

몬티홀 모순이라고도 알려진 이 문제의 Monty Hall은 "Let's make a deal"이라는 미국 TV 게임 쇼 MC의 이름에서 유래하였습니다. 얼핏 생각하면 어느 쪽이든 상관없을 것 같습니다. 어차피 같은 확률일 거라는 거죠.

답은 직관에 반하게도, 선택을 바꾸는 것이 두 배 유리하다 입니다. 처음 이 문제와 그 해답이 한 잡지에 실렸을 때 박사 학위 소유자 1,000명을 포함하여 총 10,000에 가까운 독자가 그 답이 틀렸다고 주장하는 편지를 보냈습니다. 제가 이 문제를 처음 접한 이 블로그에 따르면 그중에는 아주 저명한 수학자도 있었습니다. 일반인들뿐만 아니라 전문가까지도 헷갈리게 하는 문제였던 거죠.

위키피디아에서 가져온 다음 그림을 보시면 왜 두 배 확률로 옮기는 것이 유리한지 알 수 있습니다.


 처음 선택이 자동차일 확률은 1/3이지만, 보시는 것처럼 선택을 나머지 문으로 바꿀 경우 그 문 뒤에 자동차가 있을 확률은 2/3이 되는 것이죠. 이렇게 생각할 수도 있습니다. 처음 선택한 문을 제외한 나머지 두 문 중 하나가 자동차 문일 확률은 자명하게 2/3입니다. 그런데 자동차의 위치를 아는 MC가 뒤에 자동차가 없는 문 하나를 확실히 알려주었으니 나머지 한 문에 자동차가 있을 확률은 그대로 2/3인 것이죠. 이는 당연히 처음 선택한 문 뒤에 자동차가 있을 확률인 1/3보다 2배 높은 것이죠.

참으로 헷갈리는 확률의 세계입니다. ^^
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